PERMUTASI SIKLIS DAN LUBANG BOLA

PENDAHULUAN


Peluang merupakan bagian matematika yang membahas tentang ukuran ketidakpastian terjadinya suatu peristiwa yang ada dalam kehidupan (Smith,1991:3). Memang banyak peristiwa yang tidak dapat dipastikan terjadi atau tidak terjadi di kemudian waktu. Namun dengan mengetahui ukuran berhasil dan tidaknya suatu peristiwa yang diharapkan akan terjadi kemudian orang lebih dapat mengambil keputusan terbaik dan bijaksana tentang apa yang seharusnya ia lakukan.
Timbulnya ilmu ini antara lain karena perjudian, supaya para penjudi ini besar kemungkinannya menang setiap kali berjudi. Teori kemungkinan dan juga ilmu statistika merupakan ilmu-ilmu yang masih hangat, terutama di Indonesia ini perkembangan ilmu-ilmu ini masih dapat dikatakan masih baru. Ini bukan berarti bahwa memang ilmu ini masih baru. Ilmu ini sebenarnya sudah berkembang sejak lama, yang didasari oleh para ahli matematika dan fisika misalnya: Bernoulli, Pascal, Fermat, Bayes, De Moivre, Huygent, Laplace, Gauss, Markov, Kolmograv, Chebyshev, Chevalier, dan lain-lain.
Penggunaan teori kemungkinan sangat banyak macam dan variasinya dan umumnya sangat menarik bagi orang-orang yang menaruh minat. Beberapa hal ditemukan sangat indah dalam susunan matematika yang sangat luas, sehingga timbul beberapa dugaan dan beberapa definisi, selain itu, kedua hal ini yaitu tentang kemungkinan dan statistika sangat praktis dan filosofis.


PEMBAHASAN


1. PERMUTASI SIKLIS ( SUSUNAN MELINGKAR )
Permutasi siklis berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi melingkar.
Sebagai ilustrasi, misal ada tiga orang A, B, dan C akan didudukan dalam meja bundar seperti Gambar 1

(a)
(b)
(c)
Gambar 1. Permutasi siklik tiga objek
Susunan pengaturan duduk pada Gambar 1. (a) dianggap sama dengan susunan pada Gambar 1.(b) dan Gambar 1.(c). Karena pada ketiga gambar tersebut, orang yang berada sebelah kiri A adalah C, dan disebelah kanan A adalah B. Atau orang yang berada pada sebelah kira dan kanan ‘kita’ adalah sama pada susunan gambar tersebut. Sehingga tiga buah susunan semacam ini dianggap satu.





A. RUMUS
Bagaimana menentukan rumus permutasi siklik ?
Perhatikan contoh berikut :
Tentukan susunan yang dapat terjadi jika :
o Ada 2 orang A1, A2 didudukkan dalam meja bundar ?
o Ada 3 orang A1, A2, A3 didudukkan dalam meja bundar ?
o Ada 4 orang A1, A2, A3, A4 didudukkan dalam meja bundar ?
o Ada n orang A1, A2, A3, . . . . .,An didudukkan dalam meja bundar ?
Jawab :
Susunan pengaturan duduk pada 2 orang ada 1 yaitu
o A1, A2
Susunan pengaturan duduk pada 3 orang ada 2 yaitu
o A1, A2, A3 dan
o A1, A3, A2
Susunan pengaturan duduk pada 4 orang ada 6 yaitu
o A1, A2 , A3 , A4
o A1, A2 , A4 , A3

o A1, A3 , A2 , A4
o A1, A3 , A4 , A2
o A1, A4 , A2 , A3
o A1, A4 , A3 , A2
Tampak di sini bahwa A1 sebagai patokan diletakkan di urutan paling depan, sedangkan urutan selanjutnya adalah permutasi dari (A2 , A3 , A4) = 3! =6

Susunan pengaturan duduk pada n orang yaitu....?
Dengan penalaran yang sama dengan diatas maka A1 dinyatakan sebagai patokan yang ditulis pada urutan terdepan, sedangkan urutan berikutnya(A2 , A3 , A4 ,……,An) yang memiliki (n-1) anggota sehingga jika dipermutasikan terdapat (n-1) ! macam permutasi yang berbeda

Dengan demikian banyak permutasi siklik yang beranggotakan n adalah (n-1) !



B. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Jika kita mempunyai 7 permata dan ingin ditempatkan pada gelang, maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat.
Pembahasan :
Banyak cara menempatkan permata adalah (7 – 1)! = 6! = 720 cara

2. Ada berapa cara mengatur duduk 3 orang Amerika, 4 orang Perancis, 4 orang Denmark dan 2 orang Italia pada suatu meja bundar sedemikian sehingga mereka yang satu kebangsaan duduk berdampingan
Pembahasan ;
4 Kebangsaan dapat disusun pada satu lingkaran dalam (4-1)! = 3! cara.
Pada tiap kasus 3 orang Amerika dapat duduk dalam 3! cara, 4 orang Perancis dalam 4! cara, 4 orang Denmark dalam 4! cara dan 2 orang Italia dalam 2! cara.
Jadi, seluruhnya adalah 3! x 3! x 4! x 4! x 2! = 41.472 cara.

3. Tentukan banyaknya cara 4 anak laki – laki dan 4 anak perempuan duduk mengelilingi
meja bundar jika anak laki-laki dan anak perempuan duduk berselingan ?
Pembahasan :
Anak laki-laki dan perempuan harus duduk berselingan berartiada 4! cara. Kemudian duduk mengelilingi meja bundar ada 3! cara maka seluruhnya ada 3! x 4! = 144 cara.

4. Pada suatu pertemuan keluarga, ada 5 pasang suami-istri yang akan duduk pada meja makan yang melingkar dengan 10 kursi. Berapa susunan duduk pada pertemuan makan tersebut jika setiap pasang suami istri selalu berdampingan.
Pembahasan :
Anggaplah sepasang suami istri adalah sebuah objek, karena selalu berdampingan. Oleh karena itu, banyaknya susunan duduk untuk 5 objek melingkar adalah Akan tetapi, dari setiap pasang suami istri cara duduknya dapat ditukar, dan ini masih menjamin suami-istri duduk berdampingan.
Sehingga banyaknya cara duduk pada pertemuan makan keluarga tersebut adalah 24×2×2×2×2×2 = 768.


5. Dari 8 anggota Karang Taruna dimana Hanif, Nisa, dan Azzam ada di dalamnya, akan
duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi, jika:
a.Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk
b. Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan
c.Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh ketiganya duduk berdampingan
Pembahasan :
a. Jika semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih, maka banyak susunan siklik = (8 – 1)! = 5.040.
b.Jika Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan, maka mereka bertiga dianggap satu objek dalam susunan siklik. Jumlah objek dalam susunan siklik tinggal 6 objek, maka banyak susunan siklik = (6 – 1)! = 120. Namun Hanif, Nisa, dan Azzam dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6.
Jadi, susunan siklik dimana Hanif, Nisa, dan Azzam duduk berdampingan adalah
= 120 x 6 = 720.
c.Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh bertiganya duduk berdampingan = 5.040 – 720 = 4.320.





2. LUBANG DAN BOLA
Banyak sekali peristiwa-peristiwa yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari yang sesuai dengan peristiwa memasukkan bola dalam lubang. Dalam masalah lubang dan bola ini di definisikan bahwa:
1. Lubang adalah demikian besarnya sehingga dapat diisi bola berapa saja
2. Bolanya demikian rupa sehingga tidak ada bola yang tidak dapat masuk lubang, dan bola-bola ini terbuat dari bahan yang sama,besarnya sama, jenis cat sama, kecuali warna dan mungkin nomor yang berlainan.

Contoh 1:
Diketahui sebuah bola putih (P) dan sebuah bola merah (M) dimasukkan 2 lubang yang bernomor. Ada berapa cara yang terjadi ?
Penyelesaian:
Lubang
1 2
P M
M P
PM ……
…… PM


Bola



Jadi, ada 4 cara = 22 cara












Contoh 2:
Dari soal contoh 1 diatas, jika bolanya ditambah dengan 1 bola hijau (H), maka ada berapa banyak cara yang terjadi?
Penyelesaian:
Lubang
1 2
P MH
M PH
H PM
MH P
PH M
PM H
PMH ……..
……. PMH





Bola




Jadi ada 8 cara = 23cara

Contoh 3:
Dari soal contoh 2 diatas, jika bolanya ditambah dengan 1 bola kuning (K), maka ada berapa banyak cara yang terjadi?
Penyelesaian:
Lubang
1 2
K PMH
P KMH
M PKH
H PKM
KH MP
PH
MK
MH PK
PK MH
MK
PH
HK PM
PMH K
KMH P
MPK H
MPKH …………
………… MPKH

Jadi, ada 16 cara = 23 cara


Dari ketiga contoh diatas, dapat kita simpulkan bahwa:

“ Jika terdapat n lubang dan r bola maka banyaknya cara yang terjadi adalah nr “



Perhatikan Dalil berikut:
Dalil 1. Mode Maxwell-Bolzman
Jika r bola yang berlainan ( nomor atau warna ) dimasukkan kedalam lubang yang berlainan (bernomor) diperoleh nr cara.
Bukti:
Bola ke-1 dapat dimasukkan dengan n cara
Bola ke-2 dapat dimasukkan dengan n cara
Bola ke-3 dapat dimasukkan dengan n cara
.
.
.
Bola ke-r dapat dimasukkan dengan n cara
Jadi, banyaknya cara = n x n x n x n x……………..x n = nr


R

Contoh soal:
Seorang peternak memiliki 9 sapi yang akan dimasukkan kedalam 3 kandang, dimana masing-masing kandang mampu memuat 9 ekor sapi. Ada berapa cara yang terjadi jika sapi tersebut masuk kekandang sendiri?
Penyelesaian:
Soal diatas dapat dituliskan dalam konsep lubang dan bola, dimana jumlah sapi sebagai bola dan jumlah kandang sebagai lubangnya. Maka ada 39cara = 19.683 cara



Dalil 2. Model Box – Einstein
Jika r bola yang sama dimasukkan kedalam n lubang yang berlainan, maka banyaknya


Contoh Soal:
Terdapat 10 orang mahasiswa yang mengikuti 5 quiz mata kuliah aljabar, teori peluang, program linear,statistika dan teori bilangan. Ketika hasilnya dibagikan ternyata terdapat Ada berapa cara tu nilai B. Ada berapa cara yang terjadi?
Penyelesaian:
Peristiwa ini dapat disamakan dengan memasukkan r bola yang sama kedalam n lubang yang berlainan. Sebab mahasiswa dapat di umpamakan sebagai lubang-lubang yang berlainan sedangkan nilai B sebagai bola yang sama karena nilai B tidak ditentukan untuk mata kuliah mana, sehingga banyaknya cara yang terjadi adalah:
n = 10
r = 5
Banyaknya



Dalil 3. Jika r bola yang sama dimasukkan kedalam lubang yang berlainan dengan syarat setiap lubang paling banyak berisi satu bola (artinya dalam hal ini r < n ) diperoleh






Contoh soal:
Pada ulang tahunnya yang ke 17 Mery mendapat kado 5 buah rok dan 7 buah baju yang berlainan. Ada berapa cara dia memasangkan rok dan baju tersebut ?
Penyelesaian:
Soal ini dapat disamakan dengan memasukkan 5 buah bola kedalam 7 buah lubang yang berlainan, dengan setiap lubang berisi paling banyak satu bola sehingga banyaknya cara :